笛卡尔如何用数学方法证明哲学问题?有详细的例子更好！

一、以直观－演绎法为核心的笛卡尔数学方法论

古代数学影响最广的是欧氏几何，它以逻辑严密的公理－演绎法而获得历代学者的称颂和仿效，笛卡尔就是这众多学者之中最卓越、最具代表性的一个。笛卡尔认为，数学公理的真理性是确定无疑的，要想知道这一点，只需将这公理诉诸“心灵目光”——直观的考察，公理的真理性就能为我们清楚明白地领悟到。因为，一方面，公理本身是最普遍最简单的东西，比其它一切东西都更容易认识；另一方面，用于发现和证明公理自明性的直观，“不是感官的往复不定的证据，也不是起源于想象的错误地建构出来的骗人的判断，而是一个纯净的和专注的心灵的如此迅速、如此清楚地给予我们的概念，以致于对于我们的理解的东西完全用不着怀疑。”(1)也就是说， 直观属于纯粹理性的东西，至上的理性直观具有确定性。笛卡尔发现，数学研究遵循由简单到繁杂的认识秩序，正如几何从最简单的公理通过演绎逐渐深入到最繁杂的结论所经历的秩序一样。他曾说道：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达致结论。这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序。”

(2)由此可见，笛卡尔提出了以演绎方式互相联系的由简单到繁杂的认识秩序的思想。由直观确定最简单的东西的真理性，再由最简单的东西逐步演绎出最繁杂的东西，是笛卡尔关于认识秩序的思想的方法论本质。他指出：“全部方法，只不过是：为了发现某一真理而把心灵的目光应该观察的那些事物安排为秩序。”

(3)提请注意的是，笛卡尔在这里所提倡的演绎法与三段论式演绎逻辑有着本质的不同。三段论式的演绎是纯粹的逻辑方法，它不能用于探索未知的东西，只能用于传达已知的东西。(4)它是单独使用的方法，并不过问前提是否正确，也不能保证结论是否正确。笛卡尔提倡的演绎法，则不单纯是逻辑的方法，它不仅可用于传达已知，而且可用于探索未知。它不是单独使用的方法，而是与直观一块使用，先由直观保证前提的正确性，然后再由正确的前提演绎出正确的结论。在这里，演绎是直观的派生方法，是直观的展开。甚至在直观被熟练使用的学者那里，简单以至较复杂的演绎过程也是可以直观的。因此，笛卡尔提倡的演绎法实际上是以直观为核心的直观－演绎法。它是一种具有发现功能的证明方法（笛卡尔称之为“综合”方法），不仅可用于探索未知，获得关于未知的认识，而且可用于确定这种认识的真理性。

对最简单的东西的直观以及由此演绎出复杂结论的认识秩序，是笛卡尔数学方法论的本质。然而，可以付诸直观的最简单的东西毕竟是有限的，我们认识的对象大量的是极端复杂的东西，单纯依靠直观—演绎法和遵循由简入繁的认识秩序是远远不够的。当认识对象不是能清楚直观到的最简单的东西，也不是能通过演绎从某个自明公理推得时，我们的研究就必须遵循一个合适的认识程序：“必须把混乱暧昧的（即复杂的——引者注）命题逐级简化为其他较单纯的（即简单的——引者注）命题，然后从直观一切命题中最单纯的那些出发，试行同样逐级上升到认识其他一切命题。”(5)即，我们要在由简入繁的认识过程前面补充一个由繁入简的认识过程——“分析”过程，在作为证明方法的“综合”方法的前面补充一个被笛卡尔认为是发现方法的“分析”方法。笛卡尔指出：“我们要透彻领悟一个问题，就必须把它从任何多余的观念中抽象出来，把它归结为一个十分简单的问题，并且把它分割尽可能细小的部分，同时却不忽略把这些部分一一列举。”(6)从这段论述中，我们不仅可以知道“分析”方法实际上就是分析与归纳的同时使用，而且知道“分析”的过程实际上是由具体到抽象、由个别到一般的认识过程。笛卡尔认为，认识与形体有关的东西离不开感觉经验的帮助，而几何学的对象、命题与几何图形有关，因而离开经验就无法把握几何对象和命题。研究几何命题，就要借助几何图形，对我们关于几何图形的经验进行必要的分析、归纳（或列举）。然而，经验仅是对重要性大于自己的理性的一个补充，经验的分析、归纳仅仅是对重要性大于自己的直观、演绎的一个补充。因为，一方面，分析和归纳的确定性不如直观和演绎的确定性高，只有当直观和演绎行不通时才使用分析和归纳。笛卡尔指出，归纳“仅仅指比属于单纯直观范围之内的任何其他种类的证明，更能确定无疑地达到真理的那一种；每逢我们不能够把某一个认识归结为单纯直观，例如在放弃了三段论式的一切联系的时候，那么，可以完全信赖的就只剩下这一条道路了。”(7)另一方面，分析和归纳的目的，只是为了寻找一个适合直观－演绎法进行推理的对象的秩序。

上面的研究表明，由于笛卡尔对直观－演绎法的极端推崇，使他的数学方法论带有明显的理性主义特征。这种特征是通过割断感性和理性的辩证关系，把两者对立起来，使感性从属于理性的方式表现出来的。笛卡尔认为，经验归纳（或发现方法）仅是理性演绎（或证明方法）的一个补充。对此，人们不禁要问，笛卡尔数学方法论为什么具有理性主义特征呢？关于这个问题的回答自然有助于在更深的层面上把握笛卡尔数学方法论。作者认为，理性主义特征的形成至少有以下两个彼此相关的原因。